Numerik

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Gliederung

1. Einführung in Matlab
2. Arbeiten mit Arrays
3. Funktionen und Kontrollstrukturen
4. Analysis
5. Lineare Algebra
6. Differentialgleichungen
7. Einführung in Simulink

Fahrplan: Einführung in Simulink

Einheit 1 – Heute
→ Was ist Simulink?
→ Vom Anfangswertproblem (AWP) zum Signalflussplan
→ Simulink-Blöcke, Subsysteme und Parameter

Einheit 2
→ Weitere Beispiele und Anwendungen

Einführung in Simulink

Was ist Simulink?

Simulink ist eine blockbasierte, grafische Simulationsumgebung in Matlab.

Statt einen Algorithmus zu schreiben, beschreibt man das System als Signalflussplan: Blöcke berechnen mathematische Operationen, Verbindungen transportieren Signale.

Vom Anfangswertproblem zum Signalflussplan

Das Euler-Verfahren – Ausgangspunkt

Das Euler-Verfahren für $\dot{y} = f(t,\, y)$ führt pro Schritt zwei Operationen aus:

$$\dot{y}_n = f(t_n,\, y_n) \qquad \text{dann} \qquad y_{n+1} = y_n + \Delta t\cdot\dot{y}_n$$

for n = 1 : length(t)-1
    dy_dt  = f( t(n), y(n) )     % rechte Seite auswerten
    y(n+1) = y(n) + dy_dt * dt   % Euler-Schritt
end

Jetzt: Jede Operation wird ein Block, jedes Zwischenergebnis ein Signal.

Vom Euler-Schritt zum Signalflussplan

$$\dot{y}_n = f(t_n,\, y_n) \quad\Rightarrow\quad \xrightarrow{\;y\;}\boxed{f(t,y)}\xrightarrow{\;\dot{y}\;}$$

$$y_{n+1} = y_n + \Delta t\cdot\dot{y}_n \quad\Rightarrow\quad \xrightarrow{\;\dot{y}\;}\boxed{\int dt}\xrightarrow{\;y\;}$$

$y$ taucht auf beiden Seiten auf → Rückkopplung:

$$\xrightarrow{\;y\;}\boxed{f(t,y)}\xrightarrow{\;\dot{y}\;}\boxed{\int dt}\xrightarrow{\;y\;}\;\;\circlearrowleft$$

Ein Signalflussplan ist eine grafische for-Schleife.

Signalflussplan und Solver

Ein Zustand ist ein Wert, den ein Block zwischen Zeitschritten speichert.

f-Block – kein Zustand: berechnet $\dot{y}_n = f(t_n, y_n)$ direkt aus dem Eingang.

Integrator – Zustand $y_n$:

• Auswertung: gibt den gespeicherten Wert $y_n$ aus
• Fortschreibung: speichert den neuen Wert $y_{n+1} = y_n + \Delta t \cdot \dot{y}_n$

Der Solver treibt die for-Schleife an und übernimmt die Zeitinkrementierung $t_{n+1} = t_n + \Delta t$.

Einstellbar: Euler (festes $\Delta t$), ode45 (adaptives $\Delta t$), …

Batterie-DGL (1. Ordnung)

Euler-Schritt mit $f(t,T) = \dfrac{P(t) - \lambda(T-T_\infty)}{C_\text{th}}$:

$$T_{n+1} = T_n + \Delta t \cdot f(t_n,\, T_n)$$

Eine Akkumulationszeile → ein Integrator:

$$\xrightarrow{\;T\;} \boxed{f(t,T)} \xrightarrow{\;\dot{T}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;T\;} \;\; \circlearrowleft$$

Simulink-Blöcke

Integrator-Block

$$\xrightarrow{\;\dot{y}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;y\;}$$

• Eingang: Ableitung $\dot{y}$
• Ausgang: Zustand $y$
• Parameter: Anfangsbedingung $y_0$ (Initial Condition)

Symbol in Simulink: $\dfrac{1}{s}$ (Laplace-Notation: Integration im Zeitbereich = Division durch $s$)

Scope und Mux

Scope – zeigt Signale als Funktion der Zeit an.

Mux – fasst mehrere Signale zu einem Vektorsignal zusammen:

$$\xrightarrow{\;x(t)\;}\;\Big\}\;\xrightarrow{\;\begin{pmatrix}x\\\dot{x}\end{pmatrix}\;}\boxed{\text{Scope}}$$

Scope mit einem Mux-Eingang → mehrere Kurven in einem Fenster.

Alternativ: Scope mit mehreren Eingängen direkt konfigurieren (Number of Input Ports).

Aufgabe: Batterie-DGL in Simulink

Implementieren Sie das Batterie-Modell $\dot{T} = f(T) = \dfrac{P - \lambda(T-T_\infty)}{C_\text{th}}$ in Simulink. $P=125\,\text{W}$, $T_\infty = 25\,^\circ\text{C}$, $C_\text{th} = 100\,\text{J/K}$, $\lambda = 2\,\text{W/K}$, $T_0 = 25\,^\circ\text{C}$.

1. Neues Modell erstellen
2. Blöcke platzieren: Matlab Function, Integrator, Scope
3. Matlab Function implementieren: function T_dot = f(T)
4. Blöcke verbinden – Rückkopplung nicht vergessen
5. Anfangswert $T_0 = 25$ am Integrator einstellen
6. Stoppzeit $t_\text{end} = 360\,\text{s}$, simulieren, Ergebnis prüfen

Extraaufgabe: Ersetzen Sie $P = \text{const}$ durch ein gemessenes Lastprofil $(t_i, P_i)$: From Workspace-Block hinzufügen, $P$ als zweiten Eingang in f(T, P) führen.

Batterie ohne Matlab Function

$f(T) = \dfrac{P - \lambda(T-T_\infty)}{C_\text{th}}$ lässt sich direkt als Signalflussplan aus Elementarblöcken aufbauen:

$$\xrightarrow{\;T\;}\boxed{-T_\infty}\xrightarrow{\;T{-}T_\infty\;}\boxed{\times\lambda}\xrightarrow{\;\lambda\Delta T\;}\boxed{P-\,\cdot}\xrightarrow{\;P{-}\lambda\Delta T\;}\boxed{\times\tfrac{1}{C_\text{th}}}\xrightarrow{\;\dot{T}\;}$$

Der Matlab Function-Block ist kompakter — aber Elementarblöcke machen die Rechenoperationen explizit sichtbar und sind direkt für die Codegenerierung geeignet.

Subsysteme: Modelle als Blöcke

Ein Subsystem fasst Blöcke zu einem wiederverwendbaren Block zusammen.

Das Batterie-Modell aus der Aufgabe wird zum Subsystem „Zelle":

$$\xrightarrow{\;P(t)\;} \boxed{\text{Zelle}} \xrightarrow{\;T(t)\;}$$

Zwei thermisch gekoppelte Zellen (Einheit 9) → zwei Subsysteme verbinden.

Komplexe Systeme entstehen durch Komposition — jede Ebene zeigt nur den notwendigen Abstraktionsgrad.

Industrieapplikation: Ein Simulink-Modell kann direkt in C-Code übersetzt werden (Codegenerierung) — dieselbe Logik, die im Modell läuft, läuft dann auf eingebetteter Hardware.

Parameter und Schnittstelle

Parameter aus dem Workspace: Variablen wie $C_\text{th}$, $\lambda$ im Matlab-Workspace definieren — Simulink-Blöcke lesen sie automatisch. Kein Hardcoding in der Matlab Function.

From Workspace: gemessene Daten (z.B. Lastprofil $P(t)$) direkt ins Modell laden.

To Workspace: Simulationsergebnisse als Matlab-Variable speichern und weiterverarbeiten.

→ Simulink modelliert, Matlab analysiert.

From Workspace: Lastprofil laden

% Zeitpunkte und Leistungswerte definieren
t = [0,  600, 1200, 1800, 2400, 3600];  % s
P = [50, 200,  800,  400,  100,    0];  % W

% Als timeseries verpacken
lastprofil = timeseries(P, t);

Im From Workspace-Block: Feldname lastprofil eintragen.

Simulink interpoliert zwischen den Stützstellen — der Block gibt bei jedem Zeitschritt den passenden $P(t)$-Wert aus.

Federschwinger (2. Ordnung)

Standardform mit $y_1 := x,\; y_2 := \dot{x}$:

$$\dot{y}_1 = y_2, \qquad \dot{y}_2 = -\frac{k}{m}\,y_1$$

Euler-Schritt – zwei Akkumulationszeilen, beide mit demselben $\Delta t$:

$$\dot{x}_{n+1} = \dot{x}_n + \Delta t\cdot\ddot{x}_n \qquad x_{n+1} = x_n + \Delta t\cdot\dot{x}_n$$

Zwei Akkumulationszeilen → zwei Integratoren:

$$\xrightarrow{\;\ddot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;\dot{x}\;} \boxed{\int dt} \xrightarrow{\;x\;} \boxed{\times(-k/m)} \xrightarrow{\;\ddot{x}\;} \;\; \circlearrowleft$$

Vorgehen: DGL $n$-ter Ordnung → Signalflussplan

Aufgabe: Federschwinger in Simulink

Implementieren Sie den harmonischen Oszillator $m\ddot{x} + kx = 0$ mit $m = 1$, $k = 1$, $x(0) = 1$, $\dot{x}(0) = 0$ in Simulink.

1. Signalflussplan aufzeichnen (zwei Integratoren, Gain-Block)
2. Modell in Simulink aufbauen
3. Anfangswerte an den Integratoren einstellen
4. $x(t)$ und $\dot{x}(t)$ mit Scope darstellen (Mux verwenden)
5. Ergebnis mit der analytischen Lösung $x(t) = \cos(t)$ vergleichen

Extraaufgabe: $k$ und $m$ als Workspace-Variablen definieren.